Dos preguntas hermanas
El MCD responde a «¿cuál es el mayor trozo común?» y el MCM a «¿cuándo vuelven a coincidir?». El máximo común divisor de dos números es el mayor entero que divide a ambos sin resto; el mínimo común múltiplo, el menor número que es múltiplo de los dos a la vez. Esta calculadora te da ambos de una tacada, y aquí abajo tienes los dos métodos para obtenerlos a mano y saber qué está pasando por dentro.
El MCD por factorización
Es el método clásico del colegio: descompón cada número en primos y quédate con los factores comunes elevados al menor exponente. Con 48 y 60: 48 = 2⁴ × 3 y 60 = 2² × 3 × 5. Los factores comunes son el 2 y el 3; tomando los exponentes menores, MCD = 2² × 3 = 12. Tiene sentido: cualquier divisor común solo puede usar los primos que ambos números comparten, y como mucho tantas veces como aparezcan en el que menos los tiene.
El MCD con el algoritmo de Euclides
Para números grandes, factorizar es lento. El algoritmo de Euclides, con más de dos mil años de historia, lo resuelve solo con divisiones:
- Divide el mayor entre el menor y anota el resto: 60 ÷ 48 deja resto 12.
- Repite con el divisor y el resto: 48 ÷ 12 deja resto 0.
- Cuando el resto llega a 0, el MCD es el último resto distinto de cero: 12.
Funciona porque todo divisor común de dos números divide también a su resto, así que el problema se va encogiendo sin perder la respuesta por el camino. Es el método que usa esta herramienta, el mismo que emplean los ordenadores.
Del MCD al MCM sin volver a empezar
Hay una relación que ahorra la mitad del trabajo: para dos números, MCD × MCM = producto de ambos. Con 48 y 60, el producto es 2.880 y el MCD es 12, así que MCM = 2.880 ÷ 12 = 240. Si prefieres la factorización, el MCM se forma con todos los factores, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente: 2⁴ × 3 × 5 = 240. Los dos caminos llevan al mismo sitio.
Problemas reales que se resuelven con ellos
- Fracciones: para sumar 5/12 + 7/18 necesitas el MCM de 12 y 18 (36) como denominador común; para simplificar 48/60 divides arriba y abajo entre su MCD (12) y obtienes 4/5.
- Coincidencias: si un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18, salen a la vez cada MCM(12, 18) = 36 minutos.
- Cortes y repartos: para trocear dos listones de 48 cm y 60 cm en piezas iguales lo más largas posible, cada pieza debe medir MCD(48, 60) = 12 cm.
- Baldosas: la mayor baldosa cuadrada que cubre exactamente una pared de 240 × 180 cm mide MCD(240, 180) = 60 cm de lado.
Detalles que conviene no olvidar
- Si el MCD de dos números es 1, se llaman coprimos y su MCM es directamente su producto: MCD(8, 15) = 1 y MCM(8, 15) = 120.
- El error típico es cruzar los criterios: en el MCD van los factores comunes con el menor exponente; en el MCM, todos los factores con el mayor.
- La fórmula MCD × MCM = a × b solo vale para dos números; con tres o más se calcula en cadena: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).
Más aritmética
La factorización que hay detrás de todo esto la tienes en el comprobador de números primos; también puedes resolver una ecuación de segundo grado o calcular la media y la mediana. Todas en calculadoras.