¿Qué es un número primo?

Un número natural mayor que 1 que solo admite dos divisores: el 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Los que tienen más divisores, como el 4, el 6 o el 9, se llaman compuestos.

¿Por qué el 1 no se considera primo?

Porque rompería la unicidad de la factorización. Si el 1 fuese primo, el 12 podría escribirse como 2² × 3, como 1 × 2² × 3 o como 1⁵ × 2² × 3, y el teorema fundamental de la aritmética dejaría de garantizar una descomposición única. Excluirlo es una decisión práctica que mantiene el edificio en pie.

¿Cómo compruebo a mano si un número es primo?

Divídelo por los primos sucesivos hasta llegar a su raíz cuadrada. Si ninguno lo divide de forma exacta, es primo. Para el 211 basta con probar 2, 3, 5, 7, 11 y 13, porque la raíz de 211 vale aproximadamente 14,5.

¿Qué es la criba de Eratóstenes?

Un método de hace más de dos mil años para listar todos los primos hasta un límite. Escribes los números, dejas el 2 y tachas sus múltiplos, pasas al siguiente sin tachar y repites. Cuando llegas a la raíz cuadrada del límite, los números que quedan en pie son exactamente los primos.

¿Para qué sirve la factorización en primos?

Para descomponer un número en el producto de primos que lo forman, como 360 = 2³ × 3² × 5. Es la base para simplificar fracciones, calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, y entender la estructura interna de cualquier número entero.

¿Hasta qué número funciona la herramienta?

Hasta un billón. Con los valores más altos el cálculo puede tardar un instante mientras recorre los divisores, pero sigue resolviéndose en tu propio navegador sin esperas apreciables.

¿El número que introduzco viaja a algún sitio?

No. La comprobación y la factorización se ejecutan íntegramente en tu equipo con el código ya descargado en la página, de modo que ni el número ni el resultado se envían ni se almacenan en ninguna parte.

¿Es número primo? Comprobador y factorización

Los átomos de la aritmética

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo se puede dividir de forma exacta entre 1 y entre sí mismo. Todo lo demás —el 4, el 6, el 9, el 100— es compuesto, porque se puede desmontar en piezas más pequeñas. Los primos son esas piezas: el teorema fundamental de la aritmética garantiza que cualquier entero mayor que 1 se escribe como producto de primos de una única manera, salvo el orden de los factores. En ese sentido funcionan igual que los elementos químicos: no se descomponen, y todo lo demás está hecho de ellos.

Empiezan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y no se acaban nunca: Euclides demostró que si existiera una lista completa de primos, bastaría con multiplicarlos todos y sumar 1 para obtener un número que ninguno de ellos divide, prueba de que la lista estaba incompleta.

Por qué el 1 se quedó fuera

Cumple la letra de la definición ingenua —solo lo dividen 1 y él mismo—, pero admitirlo arruinaría la unicidad de la factorización. El 12 se descompone como 2² × 3 y solo así. Si el 1 fuese primo, también valdrían 1 × 2² × 3, 1² × 2² × 3 e infinitas variantes más, y habría que añadir una excepción incómoda a casi todos los teoremas de la teoría de números. Por eso el 1 no es ni primo ni compuesto: forma su propia categoría, la de las unidades.

La criba de Eratóstenes, paso a paso hasta 30

Si lo que quieres es la lista de todos los primos hasta cierto límite, el método más eficiente sigue siendo el que ideó Eratóstenes en la Alejandría del siglo III a. C. En lugar de examinar cada número por separado, elimina los compuestos en bloque:

Escribe todos los números del 2 al 30.
El 2 es primo. Tacha todos sus múltiplos: 4, 6, 8, 10 y así hasta el 30.
El siguiente número en pie es el 3, luego es primo. Tacha 6, 9, 12, 15… (algunos ya estaban tachados, no pasa nada).
El 4 ya está tachado, se salta. El 5 sobrevive: tacha 10, 15, 20, 25 y 30.
Aquí se puede parar, porque 5 ya supera la raíz cuadrada de 30 (unos 5,48). Cualquier compuesto que quedara tendría que tener un factor menor que esa raíz, y todos ellos ya se han usado.

Los supervivientes son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29: diez primos por debajo de 30. Hasta 100 hay 25 y hasta 1.000, 168; la proporción va cayendo poco a poco, tal y como describe el teorema de los números primos.

Comprobar un número suelto: llega hasta la raíz cuadrada

Para un único candidato no hace falta cribar nada. Basta con buscarle un divisor, y aquí entra el atajo clave: si un número tiene divisores, al menos uno de ellos es menor o igual que su raíz cuadrada. La razón es simple: los divisores van por parejas cuyo producto es el número, y en cada pareja uno queda por debajo de la raíz y el otro por encima. Probar más allá de la raíz es repetir trabajo.

Tomemos el 211. Su raíz cuadrada vale unos 14,5, así que solo hay que probar los primos hasta el 13. No es par; sus cifras suman 4, luego no es múltiplo de 3; no termina en 0 ni en 5; 211 entre 7 da 30 y sobra 1; entre 11 da 19 y sobran 2; entre 13 da 16 y sobran 3. Seis divisiones y asunto resuelto: 211 es primo. El contraejemplo útil es el 187, que lo parece y no lo es: al llegar al 11 aparece el divisor, porque 187 = 11 × 17. Hay que agotar la lista antes de dar nada por primo.

Factorizar: desmontar el 360

Divide por el primo más pequeño que quepa: 360 ÷ 2 = 180.
Sigue con el 2 mientras se pueda: 180 ÷ 2 = 90 y 90 ÷ 2 = 45.
El 45 ya no es par, así que pasa al 3: 45 ÷ 3 = 15 y 15 ÷ 3 = 5.
El 5 es primo y se divide entre sí mismo. Fin del proceso.
Agrupa los factores en potencias: 360 = 2³ × 3² × 5.

Esa descomposición no es un ejercicio decorativo. Con ella se simplifican fracciones de un vistazo, se obtiene el número exacto de divisores de un entero —multiplicando los exponentes aumentados en uno: 4 × 3 × 2 = 24 divisores para el 360— y se calculan el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo sin tanteos.

Por qué internet depende de los primos

Multiplicar dos primos grandes es instantáneo; recuperar esos dos factores a partir del producto es, con los algoritmos conocidos, brutalmente lento. Sobre esa asimetría se construyó el sistema RSA, que protege conexiones seguras, firmas digitales y comercio electrónico. Una clave RSA de 2.048 bits es, en el fondo, el producto de dos primos de unas 300 cifras: cualquiera puede usarlo para cifrar, pero solo quien conoce los dos factores puede descifrar, y factorizarlo con la tecnología actual llevaría un tiempo desmesurado. La amenaza reconocida a medio plazo es el algoritmo de Shor sobre un ordenador cuántico grande, y por eso ya se estandarizan sistemas de criptografía poscuántica que no dependen de la factorización.

Otras calculadoras de matemáticas

Continúa con el MCD y el MCM, que se apoyan directamente en la factorización, resuelve una ecuación de segundo grado o analiza un conjunto de datos con la calculadora de media y estadística. Las tienes reunidas en calculadoras, y si además necesitas cambiar de sistema de numeración, el conversor de bases está entre las herramientas.

¿Es número primo?