Qué obtienes al resolver ax² + bx + c = 0
Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar los valores de x que la hacen cierta. Gráficamente son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje horizontal, y por eso puede haber dos soluciones, una sola o ninguna real. Introduce los tres coeficientes y la calculadora te devuelve las raíces junto con el discriminante, el dato que explica el porqué del resultado.
La fórmula general y de dónde sale
La fórmula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a no es un conjuro para memorizar: sale de una técnica llamada «completar el cuadrado». Partiendo de ax² + bx + c = 0, se reescribe la expresión como un cuadrado perfecto más una constante; al despejar x aparecen la raíz cuadrada y el doble signo ±, que refleja que todo cuadrado tiene dos raíces, una positiva y una negativa. Por eso la fórmula entrega, en general, dos soluciones de golpe.
Un ejemplo resuelto paso a paso
Resolvamos 2x² − 4x − 6 = 0:
- Identifica los coeficientes: a = 2, b = −4, c = −6.
- Calcula el discriminante: b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.
- Halla su raíz cuadrada: √64 = 8.
- Aplica la fórmula: x = (4 ± 8) / 4.
- Obtén las dos soluciones: x₁ = 12 / 4 = 3 y x₂ = −4 / 4 = −1.
Comprobación con x = 3: 2 × 9 − 4 × 3 − 6 = 18 − 12 − 6 = 0. La ecuación se cumple, así que la solución es correcta.
El discriminante te avisa antes de calcular
El número b² − 4ac decide el tipo de soluciones sin necesidad de terminar la cuenta:
- Positivo: dos soluciones reales distintas; la parábola corta el eje en dos puntos.
- Cero: una única solución doble; la parábola roza el eje justo en su vértice. Ocurre en x² − 6x + 9 = 0, cuya solución es x = 3.
- Negativo: ninguna solución real; la parábola no llega a tocar el eje.
¿Y si sale negativo?
Que no haya soluciones reales no significa que no haya soluciones. Con números complejos, la raíz de −1 se representa con la unidad imaginaria i, y las raíces aparecen en parejas conjugadas de la forma a ± bi. La calculadora también las muestra: por ejemplo, x² + 2x + 5 = 0 tiene discriminante 4 − 20 = −16 y soluciones −1 ± 2i.
Tres despistes que cuestan un examen
- Los signos de b. Si b = −4, entonces −b = 4 y b² = 16, siempre positivo. Olvidar el paréntesis al elevar al cuadrado es el fallo más repetido.
- No igualar a cero antes. La fórmula solo vale para la forma ax² + bx + c = 0. Una ecuación como 2x² = 4x + 6 hay que reordenarla primero (2x² − 4x − 6 = 0).
- Dividir solo una parte entre 2a. Todo el numerador, −b más o menos la raíz, se divide entre 2a; dividir únicamente la raíz da resultados erróneos.
Comprueba tus soluciones en segundos
Hay una verificación elegante, las relaciones de Cardano-Vieta: la suma de las dos raíces debe valer −b/a y su producto, c/a. En nuestro ejemplo, 3 + (−1) = 2, que coincide con −(−4)/2, y 3 × (−1) = −3, que coincide con −6/2. Si tus raíces no cumplen ambas igualdades, hay un error de cálculo en algún paso.
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